Pan Samochodzik i… matematyka kwadratów magicznych

Podczas wakacji miałem okazję odświeżyć sobie przygody Pana Samochodzika. W tomie ,,Tajemnica Tajemnic” Pan Samochodzik trafia na połówkę blaszki, na której jednej stronie znajduje się połówka kwadratu magicznego.

14  4
7    9
11  5
2  16

Przez kwadrat magiczny rozumiem, w przypadku kwadratu 4×4, kwadrat podzielony na 16 małych kwadratów, w które wpisane są liczby od 1 do 16, w taki sposób aby suma każdego wiersza i każdej kolumny była taka sama.

Nie jest trudno zauważyć, że w tym wypadku powinna ona wynosić 34. Pytanie brzmi na ile sposobów można uzupełnić tę połówkę do pełnego kwadratu? Rozwiązanie na pewno nie jest jedyne, ponieważ sumy w wierszach wynoszą odpowiednio 18,16,16 i 18 co oznacza, że można przepermutować wiersze otrzymując różne rozwiązania.

Rozważyć można dostępne liczby (1,3,6,8,10,12,13,15) i fakt, że muszą zostać pogrupowane w cztery pary o sumach 16,16,18,18. Niezbyt skomplikowana analiza prowadzi nas do możliwych rozwiązań. Różnych kwadratów jest 8. Poniżej przedstwię jeden z nich:

15   1
6   12
10  8
3  13

Warto się zresztą zastanowić jak rozumieć sformułowanie ,,różne rozwiązania”. Zauważmy, że mając dowolny kwadrat magiczny można odbić kwadrat względem przekątnej (zamienić kolumny z wierszami). Zamiast rozważać dalsze możliwe odbicia proponuję nieco inne podejście. Zauważmy, że każdy kwadrat można ,,zapisać” jako zbiór wierszy i kolumn. Dalej zauważmy, że możemy dokonać dowolnej permutacji kolumn i wierszy i nadal mieć kwadrat magiczny. Dwa kwadraty nazwiemy różnymi jeśli nie da się uzyskać jednego z drugiego przez permutację kolumn i wierszy. Ta definicja jest niezgodna z kilkoma źródłami jakie znalazłem w internecie. Bardzo ciekawy opis problemu kwadratów magicznych znajduje się na tej stronie. Próbę podejścia algebraicznego można znaleźć tu.

Na szczęście ta definicja prowadzi do ciekawej konkluzji (ogólnie znanej i łatwej do wyszukania w sieci). Istnieje dokładnie jeden magiczny kwadrat rozmiaru 3×3. Oczywiście istnieje wiele kwadratów 4×4 (już wcześniej to pokazaliśmy przy okazji zagadki Pana Samochodzika.

Liczba kwadratów 4×4 można powiązać z zadaniem w stylu Matematyki Konkretnej.

Ile istnieje par podziałów liczb od 1 do 16 na cztery grupy po 4 liczby o następujących własnościach:

  1. Suma w każdej grupie wynosi 34
  2. Grupy są rozłączne
  3. Dla każdej liczby zbiór jej sąsiadów w obu podziałach jest rozłączny

Czy mając taką parę podziałów można zbudować magiczny kwadrat? Ile jest takich podziałów?

1 thought on “Pan Samochodzik i… matematyka kwadratów magicznych

  1. Zwykle wymaga się chyba jeszcze, żeby oprócz kolumn i wierszy, zgadzała się również suma na przekątnych. Wtedy zagadka Pana Samochodzika ma dwa 🙂 jednoznaczne rozwiązania – w podanym przez Ciebie wystarczy przestawić kolumny, a potem przystawić z lewej, bądź z prawej strony blaszki (co być może jest jasno określone w książce). Możesz pomyśleć, w jaki sposób ująć przekątne w swoim schemacie poszukiwania kwadratów i jak bardzo zawęzi to ich liczbę.

Leave a Reply

Your email address will not be published.

Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.