Pan Samochodzik i... matematyka kwadratów magicznych

Podczas wakacji miałem okazję odświeżyć sobie przygody Pana Samochodzika. W tomie ,,Tajemnica Tajemnic” Pan Samochodzik trafia na połówkę blaszki, na której jednej stronie znajduje się połówka kwadratu magicznego.

14 4
7 9
11 5
2 16

Przez kwadrat magiczny rozumiem, w przypadku kwadratu 4x4, kwadrat podzielony na 16 małych kwadratów, w które wpisane są liczby od 1 do 16, w taki sposób aby suma każdego wiersza i każdej kolumny była taka sama.

Nie jest trudno zauważyć, że w tym wypadku powinna ona wynosić 34. Pytanie brzmi na ile sposobów można uzupełnić tę połówkę do pełnego kwadratu? Rozwiązanie na pewno nie jest jedyne, ponieważ sumy w wierszach wynoszą odpowiednio 18,16,16 i 18 co oznacza, że można przepermutować wiersze otrzymując różne rozwiązania.

Rozważyć można dostępne liczby (1,3,6,8,10,12,13,15) i fakt, że muszą zostać pogrupowane w cztery pary o sumach 16,16,18,18. Niezbyt skomplikowana analiza prowadzi nas do możliwych rozwiązań. Różnych kwadratów jest 8. Poniżej przedstwię jeden z nich:

15 1
6 12
10 8
3 13

Warto się zresztą zastanowić jak rozumieć sformułowanie ,,różne rozwiązania”. Zauważmy, że mając dowolny kwadrat magiczny można odbić kwadrat względem przekątnej (zamienić kolumny z wierszami). Zamiast rozważać dalsze możliwe odbicia proponuję nieco inne podejście. Zauważmy, że każdy kwadrat można ,,zapisać’’ jako zbiór wierszy i kolumn. Dalej zauważmy, że możemy dokonać dowolnej permutacji kolumn i wierszy i nadal mieć kwadrat magiczny. Dwa kwadraty nazwiemy różnymi jeśli nie da się uzyskać jednego z drugiego przez permutację kolumn i wierszy. Ta definicja jest niezgodna z kilkoma źródłami jakie znalazłem w internecie. Bardzo ciekawy opis problemu kwadratów magicznych znajduje się na tej stronie. Próbę podejścia algebraicznego można znaleźć tu.

Na szczęście ta definicja prowadzi do ciekawej konkluzji (ogólnie znanej i łatwej do wyszukania w sieci). Istnieje dokładnie jeden magiczny kwadrat rozmiaru 3x3. Oczywiście istnieje wiele kwadratów 4x4 (już wcześniej to pokazaliśmy przy okazji zagadki Pana Samochodzika.

Liczba kwadratów 4x4 można powiązać z zadaniem w stylu Matematyki Konkretnej.

Ile istnieje par podziałów liczb od 1 do 16 na cztery grupy po 4 liczby o następujących własnościach:

  1. Suma w każdej grupie wynosi 34

  2. Grupy są rozłączne

  3. Dla każdej liczby zbiór jej sąsiadów w obu podziałach jest rozłączny

Czy mając taką parę podziałów można zbudować magiczny kwadrat? Ile jest takich podziałów?